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viernes, 7 de septiembre de 2012

El problema de las tres puertas (Problema de Monty Hall)



Ayer en clase de SALT -no quieras saber qué significan las siglas- nos plantearon el famoso problema de las tres puertas o problema de Monty Hall.

Todo un clásico de los problemas de probabilidad que me sonaba mucho de 21 Blackjack, una película muy interesante que incluí en las 300 películas que hay que ver. El fragmento de la película es el siguiente:





Aunque en la película se perfila muy bien el acertijo, voy a explicar con más calma el problema y por qué se llega a esa conclusión (ya que más de uno a quien se lo he planteado no ha quedado muy convencido).

Suponemos que estamos en un concurso de la televisión delante de tres puertas cerradas. Tras una de ellas hay un coche y detrás de las otras dos hay una cabra, pero no sabemos qué hay detrás de cada puerta. Suponemos -sí, ya sé que es mucho suponer- que queremos el coche y no la cabra.

De este modo, el presentador nos pide que elijamos una de las puertas, siendo el premio que recibamos el que se encuentre tras la puerta elegida. A continuación, el presentador abre una de las puertas que no has elegido, habiendo siempre detrás de ella una cabra. Luego, en las otras dos puertas que nos quedan estarán la otra cabra y el automóvil.

Es entonces cuando el presentador te pregunta si quieres cambiar de puerta o mantener la elegida inicialmente. ¿Qué debes hacer? ¿Hay acaso una solución más acertada probabilísticamente?





Bueno, ¿lo has pensado bien? ¿Has decidido con qué puerta quedarte?

Veamos, al principio contábamos con tres puertas, siendo 1/3 nuestra probabilidad de elegir la puerta con el coche y 2/3 la probabilidad de encontrarnos con una cabra.

Ahora bien, una vez ha abierto el presentador la puerta con la cabra es erróneo pensar que la probabilidad de elegir la puerta con el coche es del 50%, ya que el presentador siempre abre la puerta en la que hay una cabra, sabiendo este hecho de antemano. Es decir, el presentador sabe qué hay detrás de cada puerta y siempre abre una puerta que contiene una cabra. Por esta razón las probabilidades iniciales se mantienen.

Contamos pues con seis situaciones posibles que vamos a analizar según cambiemos o no de puerta. Me he tomado la licencia de nombrar a las dos cabras con un par de nombres artísticos: cabra1 y cabra2.

Del 1-3 sin cambiar de puerta. Del 4-6 cambiando.
  1. Elegimos el coche, el presentador te descubre una cabra. No cambias de puerta: GANAS.
  2. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. No cambias: PIERDES.
  3. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. No cambias: PIERDES.
  4. Elegimos el coche, te descubre una cabra. Cambias: PIERDES.
  5. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. Cambias: GANAS.
  6. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. Cambias: GANAS.

Como puedes ver, cambiando de puerta hay 2/3 de probabilidades de ganar, mientras que manteniéndonos firmes en nuestra decisión del comienzo sólo tendremos 1/3 de opciones de llevarnos el coche. Aunque si quieres la cabra mejor no cambies de puerta.

La clave del problema reside en el hecho de que el presentador conoce qué esconde cada puerta. Si abriera la primera puerta aleatoriamente entonces las probabilidades de ganar sí que serían del 50%.

Y para finalizar un fragmento de la serie Numb3rs en el que también aparece este interesante acertijo:




9 comentarios:

  1. Me ha gustado mucho el artículo y lo has explicadomuy claramente, y coincido en recomendar tanto 21 Blackjack como Numb3rs. ¿Para cuándo hablar de los vectores i, j y k? ^^

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    1. No sé si quieres que hable de física, de chistes o del sentido de la vida. Me tienes en ascuas.

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  2. Del 1-4 sin cambiar de puerta. Del 4-8 cambiando.

    1. Elegimos el coche, te descubre la cabra1. No cambias: GANAS.
    2. Elegimos el coche, te descubre la cabra2. No cambias: GANAS.
    3. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. No cambias: PIERDES.
    4. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. No cambias: PIERDES.
    5. Elegimos el coche, te descubre la cabra1. Cambias: PIERDES.
    6. Elegimos el coche, te descubre la cabra2. Cambias: PIERDES.
    7. Elegimos la cabra1, te descubre la cabra2. Cambias: GANAS.
    8. Elegimos la cabra2, te descubre la cabra1. Cambias: GANAS.

    Puede que solo sea un hiperpollo de pueblo, pero yo hay veo un 50-50 XD


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    Respuestas
    1. El problema es que no son ocho casos, sino seis. El caso 1 y el 2 son iguales, y el caso 5 y 6 también. Que el presentador descubra la puerta de una cabra u otra no influye para nada en el resultado final. Lo único que importa es el hecho de que descubre una cabra.

      Date cuenta de que has repetido el caso de elegir al principio la puerta que oculta el coche, como si hubiera cuatro puertas y tuvieras la posibilidad de elegir entre coche, coche, cabra1 y cabra2. Lo importante es tu decisión del principio, y ahí sólo puedes elegir una de las tres puertas.

      Explicado torpemente así está la cosa. ¿Lo entiendes ya? ;)

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  3. Si solo consideras 6 casos es como tu dices, pero con 8 casos no, y ninguno de los 8 casos son incompatibles con el enunciado.
    No he considerado coche, coche, cabra1 y cabra2, solo coche, cabra1 y cabra2.
    No son iguales 1 y 2, 5 y 6 ni ninguno de ellos, por lo que no se puede considerar repetición, y si haces por asi decirlo una tabla de la verdad ves todos los resultados posibles no contradictorios, y a mi me salen 8, y hasta donde yo lo veo, no se pueden "simplificar" las cabras entre si, porque son diferentes, como tu mismo dices cabra1 y cabra2, y para que sean 6 casos tu estás simplificando cabras.
    Es cierto que no cambia el resultado final que muestre cabra1 o cabra2, pero siguen siendo posibilidades y para fines estadisticos deben ser contabilizadas, no?
    Se podria hacer con una cabra, un coche y un mono. (sigues queriendo el coche.. XD)
    De todas formas estoy un poco espeso porque he soñado con cabras y puertas (no es broma), y lo mas seguro es que este equivocado, pero ahora mismo solo quiero que las cabras dejen de aparecer en mis sueños jejeje

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    1. El problema es que son seis casos como te he dicho antes, ya que hay tres puertas a elegir y sólo dos variables (que cambies o no de puerta).

      Lo de cabra1 y cabra2 lo puse para que se entendiera mejor el problema, pero a la hora de la verdad no influye para nada en absoluto que el presentador descubra una u otra. Por tanto sí, tu caso 1 es igual que el 2 y el 5 es igual que el 6. Lo que hace el presentador no es una variable porque siempre hace lo mismo.

      Por tanto, lo que haga el presentador no influye para fines estadísticos, lo que influye es tu decisión del principio y si cambias o no de puerta. Esa es la cuestión, y esa es la razón de que sólo haya seis casos.

      Si el presentador eligiera una puerta aleatoriamente entonces se aproximaría a lo que tú dices. Aunque entonces no habría ocho casos, sino doce. Lo importante es que el presentador sabe qué hay detrás de cada puerta, y siempre abre una que contenga una cabra.

      ¿Más claro ahora? Yo también ando bastante espeso xD

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  4. Ya lo veo, aunque es mas facil explicarlo con 10.000 puertas en vez de 3. Asi la posibiliddad de que aciertes a la primera es de 1/10.000 y si el presentador te quita 9.998 puertas y solo te deja otra para cambiar, esta claro que es la otra y no la tuya en el 9.999 de los casos jeje. O decir que cambiar de puerta combierte los aciertos en fallos y los fallos en aciertos, y dado mi primera elección está mal 2/3 de las veces, si cambio ganare 2/3 de las veces tambien.
    Tambien es curioso comprobarlo de forma empirica http://chrisc.freeshell.org/random/pages/montyhall.html

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    Respuestas
    1. Es cierto, con 10.000 puertas es mucho más sencillo de entender. Menos mal que al final la cosa ha quedado clara ;)

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    2. Gracias Moreno!! Por fin lo he entendido, aunque no sé si tu problema de sueño se habrá solucionado al contemplar la posibilidad de 9.999 cabras en lugar de dos :)Buenas noches!

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